《ナコ＝ティの算数・数学教室（第１０話）》
【０．９９９･･･ ＝ １ って、あり!!??】
これまで、どこかで「０．９９９･･･ ＝ １」という式を見たことがありますか。０．９９９･･･というふうに９がどこまでも永遠に続く小数を考えると、実は、１に「等しく」なることを表した式です。
０．９９９･･･ ＝ １
（ ０．９９９･･･ は １ に「等しい」のだ ）
この式は本当に正しいのでしょうか。何だかすっきりしない人が多いんじゃない。だって、０．９９９･･･と、どこまでも９が続く数があって、それが １と「等しい」なんて、そりゃあ １ に「近づく」のは良いとしても、はっきり「等しい(イコール)」と言い切るのは、ちょっと待ってください気分でしょう。その気持ち、よおーーーーーーく分かります。
そこで今回の《ナコ=ティの算数・数学教室》では、この謎に迫ってみたいと思います。
０．９９９･･･ ＝ １
（ ０．９９９･･･ は １ に「等しい」のだ ）
この式は本当に正しいのでしょうか。何だかすっきりしない人が多いんじゃない。だって、０．９９９･･･と、どこまでも９が続く数があって、それが １と「等しい」なんて、そりゃあ １ に「近づく」のは良いとしても、はっきり「等しい(イコール)」と言い切るのは、ちょっと待ってください気分でしょう。その気持ち、よおーーーーーーく分かります。
そこで今回の《ナコ=ティの算数・数学教室》では、この謎に迫ってみたいと思います。
［まず第一段階］
あたりまえですが、２と１は違う数です。野球で２対１なら、２点取った方が勝ちます。２−１＝１「差が１」１点差があるので、はっきり勝負がつきます。１点の重みですね。勝負は厳しいです。４対３も４−３＝１「差が１」あるので、違う数です。勝ち負けがはっきり決まります。
あたりまえですが、２と２は同じ数です。同点で引き分けです。２−２＝０「差が０(ない)」ので、勝負がつきません。どうしても勝ち負けを決めたいのなら、延長戦か再試合か、じゃんけんでもしますか。
次に、スピードスケートか陸上競技か水泳などを考えてみましょう。百分の１秒まで計測する競技で、Ａ選手の記録が４８秒７２、Ｂ選手の記録が４８秒７３だったら、０秒０１の差でＡ選手の勝ちですよね。いくらちょっとの差でも「差は差」です。わずか０秒０１の差で、メダルの色が変わってしまいます。ここでも、勝負は厳しいです。
しかし、Ａが４８秒７２で、Ｂも４８秒７２だったらどうなりますか。こういうとき、どうするかは、大会規約とか競技規則ではっきり決まっているハズです。たとえば、電気時計の記録を調べて、千分の１秒まで比較するかもしれません。そしてＡ選手が４８秒７２２で、Ｂ選手も４８秒７２２だったら、同着１位とするしかないですよね。エッ? 一万分の１秒や十万分の１秒まで調べるべきですか? もしそれでも「差がない」んだったら、１位２位に分けるわけにはいかないでしょう。
つまり、私たちは、２つの数が「等しい」か「等しくない」かを判定する場合、「差があるか･ないか」を調べているんですね。「差(引き算の答え)」が決め手のようです。
第一段階はＯＫでしょうか。これを認めてくれれば、いよいよ本番
０．９９９･･･ ＝ １
の説明に進みます。
あたりまえですが、２と１は違う数です。野球で２対１なら、２点取った方が勝ちます。２−１＝１「差が１」１点差があるので、はっきり勝負がつきます。１点の重みですね。勝負は厳しいです。４対３も４−３＝１「差が１」あるので、違う数です。勝ち負けがはっきり決まります。
あたりまえですが、２と２は同じ数です。同点で引き分けです。２−２＝０「差が０(ない)」ので、勝負がつきません。どうしても勝ち負けを決めたいのなら、延長戦か再試合か、じゃんけんでもしますか。
次に、スピードスケートか陸上競技か水泳などを考えてみましょう。百分の１秒まで計測する競技で、Ａ選手の記録が４８秒７２、Ｂ選手の記録が４８秒７３だったら、０秒０１の差でＡ選手の勝ちですよね。いくらちょっとの差でも「差は差」です。わずか０秒０１の差で、メダルの色が変わってしまいます。ここでも、勝負は厳しいです。
しかし、Ａが４８秒７２で、Ｂも４８秒７２だったらどうなりますか。こういうとき、どうするかは、大会規約とか競技規則ではっきり決まっているハズです。たとえば、電気時計の記録を調べて、千分の１秒まで比較するかもしれません。そしてＡ選手が４８秒７２２で、Ｂ選手も４８秒７２２だったら、同着１位とするしかないですよね。エッ? 一万分の１秒や十万分の１秒まで調べるべきですか? もしそれでも「差がない」んだったら、１位２位に分けるわけにはいかないでしょう。
つまり、私たちは、２つの数が「等しい」か「等しくない」かを判定する場合、「差があるか･ないか」を調べているんですね。「差(引き算の答え)」が決め手のようです。
第一段階はＯＫでしょうか。これを認めてくれれば、いよいよ本番
０．９９９･･･ ＝ １
の説明に進みます。
［いよいよ本番］
まず、０．９９９と１を比べると．．．．
１−０．９９９＝０．００１で、千分の１の「差がある」ので、０．９９９と１は「等しく」ありません。あたりまえですね。
次に、０．９９９９９９と１を比べると．．．．
１−０．９９９９９９＝０．０００００１で、これもわずか百万分の１ですが、小さいとはいえはっきりと「差がある」ので、「等しく」ありません。これもあたりまえですね。
こうして、０．９９９･･･で９が１００個並んでも、１０００個並んでも、そこで終わる数(有限小数)ならば、１との間で必ず「差」が見つかります。すごく小さい差ですが、「差が(確かに)ある」のですから、違う数です。自信を持って、「等しくない」と言えます。
まず、０．９９９と１を比べると．．．．
１−０．９９９＝０．００１で、千分の１の「差がある」ので、０．９９９と１は「等しく」ありません。あたりまえですね。
次に、０．９９９９９９と１を比べると．．．．
１−０．９９９９９９＝０．０００００１で、これもわずか百万分の１ですが、小さいとはいえはっきりと「差がある」ので、「等しく」ありません。これもあたりまえですね。
こうして、０．９９９･･･で９が１００個並んでも、１０００個並んでも、そこで終わる数(有限小数)ならば、１との間で必ず「差」が見つかります。すごく小さい差ですが、「差が(確かに)ある」のですから、違う数です。自信を持って、「等しくない」と言えます。
ところがどうでしょう、０．９９９･･･というふうに９がどこまでも永遠に続く小数(無限(循環)小数)の場合には、様子が違います。
１との差を見るために、実際に紙と鉛筆を使って引き算をやってみましょう。どうですか？ ９がどこまでも永遠に続いていくのですから、右へ右へどんなに位を下げていっても、差は見つからなかったでしょう。
１．００００００００００００００００００００００・・・
− ０．９９９９９９９９９９９９９９９９９９９９９９・・・
０．００００００００００００００００００００００・・・
ここで大事なのは、時間が足りなかったから差が出なかった、というわけではないということです。辛抱強く計算を続ければそのうち差が出る見込みがあるのなら、頑張り甲斐があります。一生懸命計算を続けましょう。でも、本当に差が出る見込みがありますか？ はっきり言って「見込みはない」んです。１週間計算を続けても、否、１年、１０年、１００億年(！)続けても、いつまで経っても決して差は出ないんですよ。９がどこまでも永遠に続くのですからその続いていく分だけずっと差は出ないんですよ。「差が出るハズだ」という強い「信念」を持つのは構いませんが、どんなに時間をかけても、その差が出てくるあてがないのです。だとしたら、その「信念」は単なる「意地っ張り」に過ぎないんじゃありませんか。筋の通らない「ダダコネ」です。
というわけで、もうあきらめて、「差はない」ことを認めましょう。「差が(どうしても)出ない」ことを認めたなら、
０．９９９･･･ ＝ １
を認めましょう。「差がない」のなら、同じ数だと言わざるを得ないでしょう。
１との差を見るために、実際に紙と鉛筆を使って引き算をやってみましょう。どうですか？ ９がどこまでも永遠に続いていくのですから、右へ右へどんなに位を下げていっても、差は見つからなかったでしょう。
１．００００００００００００００００００００００・・・
− ０．９９９９９９９９９９９９９９９９９９９９９９・・・
０．００００００００００００００００００００００・・・
ここで大事なのは、時間が足りなかったから差が出なかった、というわけではないということです。辛抱強く計算を続ければそのうち差が出る見込みがあるのなら、頑張り甲斐があります。一生懸命計算を続けましょう。でも、本当に差が出る見込みがありますか？ はっきり言って「見込みはない」んです。１週間計算を続けても、否、１年、１０年、１００億年(！)続けても、いつまで経っても決して差は出ないんですよ。９がどこまでも永遠に続くのですからその続いていく分だけずっと差は出ないんですよ。「差が出るハズだ」という強い「信念」を持つのは構いませんが、どんなに時間をかけても、その差が出てくるあてがないのです。だとしたら、その「信念」は単なる「意地っ張り」に過ぎないんじゃありませんか。筋の通らない「ダダコネ」です。
というわけで、もうあきらめて、「差はない」ことを認めましょう。「差が(どうしても)出ない」ことを認めたなら、
０．９９９･･･ ＝ １
を認めましょう。「差がない」のなら、同じ数だと言わざるを得ないでしょう。
これで私の説明は終わりです。「差」に注目した説明をしてみました。納得してもらえたかな。
なお、この問題は、普通、次のように説明しています。
１÷３を計算して０．３３３・・・となるから
１
── ＝ ０．３３３・・・が正しい式だと認めてもらいます。
３
次に、この両辺を３倍して
１
── × ３ ＝ ０．３３３・・・×３
３
３
── ＝ ０．９９９・・・
３
１ ＝ ０．９９９・・・
ほら、等しくなりましたよ。
なお、この問題は、普通、次のように説明しています。
１÷３を計算して０．３３３・・・となるから
１
── ＝ ０．３３３・・・が正しい式だと認めてもらいます。
３
次に、この両辺を３倍して
１
── × ３ ＝ ０．３３３・・・×３
３
３
── ＝ ０．９９９・・・
３
１ ＝ ０．９９９・・・
ほら、等しくなりましたよ。
実は、この説明にも、私の説明にも、いろいろと「問題箇所」があるんです。でもまあ、今回はあまり深入りせずに“オハナシ”として読んでくだされば、うれしいな。と思っています。ではまた。
